Le rang des applications antisymétriques
Date de publication : 30/01/2010.
Par
Pierre Lecomte (articles mathématiques)
On sait qu'une matrice antisymétrique réelle non singulière est de dimension paire. Ce fait admet une étonnante généralisation,
qui m'a été inspirée par une question d'un internaute sur un forum de mathématique.
I. Le rang des applications antisymétriques
II. Première preuve
III. Seconde preuve
I. Le rang des applications antisymétriques
Soit un espace vectoriel
de dimension finie sur un corps
et muni d'une
forme bilinéaire non dégénérée
. Si la caractéristique de
est différente de deux,
alors les images des endomorphismes antisymétriques de
sont de dimension paire.
Pour rappel,
est antisymétrique si la forme bilinéaire
est antisymétrique.
En caractéristique deux, on peut trouver des applications antisymétriques de rang impair.
II. Première preuve
Soit
la forme bilinéaire antisymétrique
. Le rang de
est égal
au rang de
. De plus, il est bien connu et facile de montrer par récurrence qu'il existe une base dans laquelle la matrice
de
est diagonale par blocs, chaque bloc étant nul ou bien égal à
.
III. Seconde preuve
Il n'y a pas besoin de se soucier de l'isotropie pour la forme
. Soient
et
les applications de
dans
définies par
et
.
Par définition, le rang de
est égal à celui de
. Or,
et
est un isomorphisme, donc le rang de
est égal à celui de
. Maintenant, on oublie
complètement
et on doit montrer que le rang
de
est pair.
Le rang de
est égal au rang de la matrice
pour toute base
de
(en effet,
est la matrice de
dans les bases
et
, où
désigne la base duale de
).
Quitte à remplacer
par un supplémentaire du noyau
de
, on peut supposer que
, donc
est non dégénérée, ce qui entraîne que
est non nul. Or,
est antisymétrique donc
, ce qui montre que
est pair.
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