Date de publication : 23/06/2011.
Par
Pierre Lecomte (articles mathématiques)
(1)
que font les racines 
et 
d'une équation du second degré 
,
dans laquelle 
et 
sont des nombres complexes.
de ces racines n'est pas nul, afin qu'aucune d'elles ne le soit.
par 
plutôt que
de soustraire le second du premier :
de l'équation qui va tenir le rôle principal. C'est en effet sa position dans le plan complexe
qui détermine les propriétés de 
.
, c'est-à-dire si et seulement si
.
.
« À gauche », l'angle est obtus et plat si et seulement si 
.
est un peu particulier. Comme j'avais proposé de le démontrer dans cet exercice, il correspond aux cas
où les racines sont de même longueur. Leur angle y varie de 
à 
en accord avec ce que nous venons de décrire.
Par exemple, il est nul lorsque 
, droit lorsque 
et plat
si 
est nul.
est nul et les racines sont opposées, formant effectivement un angle plat. Ce cas pris en considération,
nous supposerons désormais 
et donc 
non nuls. Cela nous simplifiera un peu la vie pour établir ces propriétés.
, il résulte de (1) que
à 
et à
. Les conclusions relatives aux valeurs de 
sont alors faciles à tirer.
est nul, donc
(3)
est droit si et seulement si 
est sur la médiatrice du segment 
.
Par ailleurs, 
si et seulement si 
, ce qui signifie
que 
est « à droite » de cette médiatrice, etc.
situées sur le segment 
est discuté dans l'exercice mentionné ci-dessus.
.
et 
de 
. On y perçoit
relativement bien le profil particulier de la restriction à l'axe réel.
, 
et 
, on visualise
les différentes régions où l'angle 
est obtus ou aigu. Les plans extrêmes sont tangents à la surface en les demi-droites
le long desquelles l'angle est plat ou nul.
. Pour ceux-ci, 
et 
sont conjugués et ont donc même module : 
est sur la médiatrice de 
.
a une valeur donnée, sont
des branches d'hyperboles dont les foyers sont aux points et 
. Les cas particuliers sur lesquels on a insisté
dans le billet sont ceux pour lesquels la constante en question est 
, 
ou 
.
| (1) |
Pour les notions géométriques, nous identifions  à  muni de ses produit scalaire et
orientation standards. Pour ceux-ci, le couple de nombre complexes  est une base orthonormée directe. Nous noterons
 le produit scalaire des nombres complexes  et  . Il s'exprime facilement
à l'aide des opérations sur les nombres complexes. Pour rappel,  .
|
| (2) | Une variante de cette formule est exposée dans mon petit livre Le mathématicien et ses esclaves dont je me suis inspiré pour écrire ce billet. |
| (3) |
Par définition, .
|
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, étant une racine carrée de 
, les racines de l'équation sont
et
