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Le rang des applications antisymétriques

Date de publication : 30/01/2010.

Par Pierre Lecomte (articles mathématiques)
 

On sait qu'une matrice antisymétrique réelle non singulière est de dimension paire. Ce fait admet une étonnante généralisation, qui m'a été inspirée par une question d'un internaute sur un forum de mathématique.

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I. Le rang des applications antisymétriques
II. Première preuve
III. Seconde preuve


I. Le rang des applications antisymétriques

Soit un espace vectoriel de dimension finie sur un corps et muni d'une forme bilinéaire non dégénérée . Si la caractéristique de est différente de deux, alors les images des endomorphismes antisymétriques de sont de dimension paire.

Pour rappel, est antisymétrique si la forme bilinéaire est antisymétrique.

En caractéristique deux, on peut trouver des applications antisymétriques de rang impair.


II. Première preuve

Soit la forme bilinéaire antisymétrique . Le rang de est égal au rang de . De plus, il est bien connu et facile de montrer par récurrence qu'il existe une base dans laquelle la matrice de est diagonale par blocs, chaque bloc étant nul ou bien égal à .


III. Seconde preuve

Il n'y a pas besoin de se soucier de l'isotropie pour la forme . Soient et les applications de dans définies par et .

Par définition, le rang de est égal à celui de . Or, et est un isomorphisme, donc le rang de est égal à celui de . Maintenant, on oublie complètement et on doit montrer que le rang de est pair.

Le rang de est égal au rang de la matrice pour toute base de (en effet, est la matrice de dans les bases et , où désigne la base duale de ).

Quitte à remplacer par un supplémentaire du noyau de , on peut supposer que , donc est non dégénérée, ce qui entraîne que est non nul. Or, est antisymétrique donc , ce qui montre que est pair.



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