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À propos de l'équation du second degré complexe

Date de publication : 23/06/2011.

Par Pierre Lecomte (articles mathématiques)
 

Dans ce billet, nous allons nous intéresser à l'angle non orienté que font les racines d'une équation du second degré.

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I. Le problème
II. Résumé de la situation
III. Discussion
IV. Ajout


I. Le problème

Dans ce billet, nous allons nous intéresser à l'angle non orienté (1) que font les racines et d'une équation du second degré , dans laquelle et sont des nombres complexes.

Nous supposerons que le produit de ces racines n'est pas nul, afin qu'aucune d'elles ne le soit.

Il est amusant de noter que c'est le « pendant multiplicatif » — on divise par plutôt que de soustraire le second du premier :

du discriminant de l'équation qui va tenir le rôle principal. C'est en effet sa position dans le plan complexe qui détermine les propriétés de .


II. Résumé de la situation

Le dessin suivant résume la situation :

On y voit ainsi que les racines de l'équation sont orthogonales le long de la médiatrice du segment , c'est-à-dire si et seulement si .

« À droite » de cette médiatrice, les racines forment un angle aigu qui est nul si et seulement si . « À gauche », l'angle est obtus et plat si et seulement si .

Le segment est un peu particulier. Comme j'avais proposé de le démontrer dans cet exercice, il correspond aux cas où les racines sont de même longueur. Leur angle y varie de à en accord avec ce que nous venons de décrire. Par exemple, il est nul lorsque , droit lorsque et plat si est nul.

Dans ce dernier cas, est nul et les racines sont opposées, formant effectivement un angle plat. Ce cas pris en considération, nous supposerons désormais et donc non nuls. Cela nous simplifiera un peu la vie pour établir ces propriétés.

Voyons comment faire.


III. Discussion

Puisque , il résulte de (1) que

Donc , étant une racine carrée de , les racines de l'équation sont et (2)

Le membre de droite de cette égalité est la différence entre les distances de à et à . Les conclusions relatives aux valeurs de sont alors faciles à tirer.

Par exemple, est nul, donc (3) est droit si et seulement si est sur la médiatrice du segment . Par ailleurs, si et seulement si , ce qui signifie que est « à droite » de cette médiatrice, etc.

Le cas des valeurs de situées sur le segment est discuté dans l'exercice mentionné ci-dessus.


IV. Ajout

Il est intéressant d'observer une vue du graphe de la fonction .

Sa restriction à l'axe réel.
Sa restriction à l'axe réel corrobore bien ce que nous avons dit plus haut. Voici ensuite le graphe limité à un carré du plan complexe :

Les deux singularités correspondent aux valeurs et de . On y perçoit relativement bien le profil particulier de la restriction à l'axe réel.

En ajoutant les représentations des plans horizontaux de cotes , et , on visualise les différentes régions où l'angle est obtus ou aigu. Les plans extrêmes sont tangents à la surface en les demi-droites le long desquelles l'angle est plat ou nul.

On constate que le plan médian coupe la surface selon une droite. Cela s'explique aisément : cette droite est la partie du graphe correspondant aux . Pour ceux-ci, et sont conjugués et ont donc même module : est sur la médiatrice de .

Plus généralement, les lignes de niveau de la surface, c'est-à-dire le lieu des points en lequel a une valeur donnée, sont des branches d'hyperboles dont les foyers sont aux points et . Les cas particuliers sur lesquels on a insisté dans le billet sont ceux pour lesquels la constante en question est , ou .



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(1) Pour les notions géométriques, nous identifions à muni de ses produit scalaire et orientation standards. Pour ceux-ci, le couple de nombre complexes est une base orthonormée directe. Nous noterons le produit scalaire des nombres complexes et . Il s'exprime facilement à l'aide des opérations sur les nombres complexes. Pour rappel, .
(2) Une variante de cette formule est exposée dans mon petit livre Le mathématicien et ses esclaves dont je me suis inspiré pour écrire ce billet.
(3) Par définition, .

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